Anaxágoras y las fractales

Todas las cosas están en todo. Esta es, según Anaxágoras, la característica fundamental de la realidad: en cualquier cosa hay partes o, como diría él, “semillas” de todas las demás. Aristóteles se refería a esta idea con el concepto de homeomería. En lenguaje actual esto vendría a ser algo así como “autosemejanza”. Pero veamos qué es esto de la autosemejanza.

Si tengo un pedazo de hierro y lo parto en dos, obtendré dos pedazos de hierro más pequeños, pero semejantes al primero. Ahora bien, si me canso de partir hierros y decido partir en dos a mi gato, ¿obtendré dos gatitos pequeños? Antes de que nadie decida mutilar a su gato ya os avanzo yo que lo que ocurrirá es que, no sólo no obtendré dos gatitos, sino que tendré que lamentar la pérdida del que tenía. Eso le pasa a mi gato por no ser autosemejante. El hierro tiene más suerte porque sí es autosemejante: cualquiera de los pedazos que haga, es semejante al todo.

Aclarado el tema de la autosemejanza es hora de que Anaxágoras entre a matar: la realidad es autosemejante, es decir, cualquiera de sus partes es semejante al todo. En efecto, como podemos observar a simple vista, la realidad tiene de todo: aire, oro, cobre, hierro, carne, pelos, agua, sal, tiza, petróleo, etc. Anaxágoras dice que si tomamos una de esas cosas, un trozo de hierro, por ejemplo, y lo analizamos; comprobaremos que está compuesto de hierro y… de aire, cobre, carne, pelo, agua, sal, tiza, petróleo… etc., aunque sea el hierro lo que abunde más. Pero no sólo eso, sino que por pequeño que sea el pedazo de hierro que tomemos, siempre contendrá en alguna proporción “semillas” u “homeomerías” de todo lo demás. De hecho estas semillas serán infinitamente divisibles, de modo que podremos tomar pedazos infinitamente pequeños y siempre encontraremos que esos pedazos, por diminutos que sean, contienen los mismos ingredientes que la realidad entera. Algo así ocurre con las muñecas rusas o con las cebollas, aunque no hasta el infinito, claro.

Es costumbre (mala costumbre, por cierto) al estudiar a los presocráticos no tomarlos demasiado en serio. En estos filósofos se suele buscar más la erudición que el conocimiento. Nos resultan infantiles y primitivos. Y es que ahora que tenemos elevalunas eléctricos, mandos a distancia y mecheros a gas, nos creemos muy listos. Pero la ciencia, la verdadera ciencia, es siempre una búsqueda y siempre está en pañales. Si abandonamos nuestros prejuicios y tomamos en serio a los presocráticos, descubriremos que su búsqueda es también nuestra búsqueda y que sus pañales son también los nuestros, sólo que menos usados.

La teoría de Anaxágoras es extraña, pero no carece de sentido. De hecho, podemos considerarla un claro antecedente de uno de los conceptos más importantes y revolucionarios de la ciencia del siglo XXI: las fractales.

No pretendo hacer aquí una introducción matemática a las fractales, aunque lo haga en algún post venidero. Nos introduciremos en las fractales por ‘inmersión visual’ (pinchad en las imágenes para ampliarlas):

(Os recomiendo que antes de seguir leyendo pinchéis AQUÍ para ver una galería de hermosas fractales, y luego sigáis leyendo.)

Si habéis observado las imágenes con atención habréis percibido una misteriosa belleza en ellas. Es la belleza de los abismos. Hay algo en esas imágenes que se aleja hacia el infinito y que nos invita a seguirlo. La clave de su belleza está, oh sorpresa, en su autosemejanza. En el lenguaje de Aristóteles, diríamos que esas figuras contienen homeomerías: sus partes se asemejan al todo, y también las partes de sus partes, y así ad infinitum.

La figura fractal más famosa se llama “conjunto de Mandelbrot”, en honor a su descubridor Benoît Mandelbrot. Es esta:

Vemos que la figura termina, por la izquierda, con un fino hilo azul que acaba por desvanecerse. Si ampliamos la parte izquierda de la imagen obtenemos lo siguiente:

Como vemos, el hilo azul tiene una mancha negra de la que parecen salir dos ramas (a la izquierda de la imagen de arriba). Pero ampliemos de nuevo la imagen por la izquierda y veamos qué es en realidad esa mancha:

¡Resulta que esa pequeña mancha es idéntica a la imagen inicial.! Puesto que al ampliar el conjunto de Mandelbrot hemos llegado a un punto en que tenemos, de nuevo, el mismo conjunto de Mandelbrot, podremos realizar (iterar) este proceso infinitamente. Por pequeño que sea el fragmento que tomemos, siempre acabaremos topándonos con la misma figura a escalas infinitamente pequeñas. Tened en cuenta que a lo largo de todo el proceso, no nos hemos salido, ni nos saldremos nunca, de los límites de la figura inicial; lo único que hemos hecho ha sido ampliarla. En cualquiera de las infinitas partes en que podemos dividir la figura está el todo. Por ello, podemos decir que las fractales de Mandelbrot son como las homeomerías de Anaxágoras. En la siguiente imagen podemos observar este proceso de ampliación infinita:

Y bien, dirá alguno, y qué si este Anaxágoras y este Mandelbrot dicen cosas semejantes; después de todo esto no son sino artificios intelectuales que no pueden aplicarse a la realidad. Bueno, pues esto es completamente falso. Las fractales tienen aplicación en muchos ámbitos de la realidad, desde la biología a la física, pero ese tema lo trataremos en otro post. De momento, quedémonos

con la siguiente pregunta: ¿Es la realidad misma una fractal?

Benoît Mandelbrot (1924 – ___ )

Fuentes de imágenes:
Anaxágoras. vía Wikipedia
La primera fractal, vía Flikr
Las ‘tiras’ de fractales vía http://fractalparacual.blogspot.com
El conjunto de Mandelbrot, sus ampliaciones y el conjunto de Mandelbrot ampliado VÍA.
Foto de B. Mandelbrot vía http://www.epsilones.com

NOTA: Ningún gato fue maltratado para la redacción de este artículo.

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Heráclito: El principio y el fin coinciden.

El arché y la teoría de cuerdas

LA TEORÍA DE CUERDAS. (Brian Greene: El universo elegante [selección])
(Pincha AQUÍ para obtener una versión para imprimir de este post)

El universo en sus aspectos más pequeños. Lo que sabemos de la materia.

Tabla 1.1.

Familia 1

Familia 2

Familia 3

Partícula

Masa

Partícula

Masa

Partícula

Masa

Electrón

0,00054

Muón

0,11

Tau

1,9

Neutrino del electrón

<10-8

Neutrino del muón

<0,0003

Meutrino del tau

<0,033

Quark arriba

0,0047

Quark encanto

1,6

Quark cima

189

Quark abajo

0,0074

Quark extraño

0,16

Quark fondo

5,2

Las tres familias de partículas fundamentales y sus masas (en múltiplos de la masa del protón)

Las partículas que constituyen la materia se clasifican

en tres grupos que, a menudo, se denominan familias. Cada familia contiene dos quarks, un electrón o uno de sus parientes, y además una partícula de la especie de los neutrinos. […] El resultado es que los físicos han comprobado ya la estructura de la materia hasta escalas de alrededor una trillonésima de metro y han demostrado que todo lo que se ha encontrado hasta ahora consiste en una cierta combinación de partículas de estas tres famílias y de sus parejas de antimateria.

Si echamos un vistazo a la Tabla 1.1, nos quedar

emos, sin duda, con una fuerte sensación de perplejidad. El agrupamiento en familias produce al menos la impresión de algo ordenado, pero surgen innumerables preguntas que empiezan por “¿Por qué…?”. ¿Por qué existen tantas partículas fundamentales, cuando parece que la gran mayoría de las cosas que se encuentran en el mundo que nos rodea sólo necesitan electrones, quarks arriba y quarks abajo? ¿Por qué hay tres familias? ¿Por qué no una familia o cuatro familias, o cualquier otro número? ¿Por qué tienen las partículas una variedad de masas aparentemente aleatoria? ¿Por qué, por ejemplo, Tau pesa alrededor de 3520 veces lo que pesa un electrón? ¿Por qué el quark cima pesa cerca de 40200

veces el peso de un quark arriba? Son unos números extraños, aparentemente aleatorios. ¿Son así por azar, por algún designio divino, o existe una explicación científica comprensible para estas características fundamentales de nuestro universo?

Teoría de cuerdas, el concepto básico


Figura 1.1. (pinchar en la imagen para ampliar)


Las partículas que aparecen en la Tabla 1.1. son las “letras” de todo tipo
de materia. Igual que sus colegas lingüísticas, parecen no tener otras subestructuras internas. La teoría de cuerdas afirma otra cosa. Según esta teoría, si pudiéramos examinar estas partículas con una precisión aún mayor descubriríamos que ninguna es como un punto, sino que cada una de ellas está formada por un dinimuto bucle unidimensional. Cada partícula contiene un filamento que vibra, oscila y baila como un elástico de goma infinitamente delgado que los físicos han denominado cuerda. En la figura 1.1 expresamos gráficamente este concepto esencial de la teoría de cuerdas, comenzando con un troza de materia corriente, una manzana, y ampliando repetidas veces su estructura hasta poder ver los componentes que la forman a escalas cada vez menores.

La teoría de cuerdas como la teoría unificada de todo

[…] La teoría de cuerdas afirma […] que las propiedades que se han observado en las partículas […] son un reflejo de los distintos modos en que una cuerda puede vibrar. Del mismo modo que las cuerdas de un violín o de un piano tienen unas frecuencias de resonancia predilectas a la hora de vibrar -pautas que nuestros oídos perciben como las diversas notas musicales y sus armónicos más altos- así sucede con los bucles de la teoría de cuerdas. Sin embargo, ya veremos que, en vez de producir notas musicales, cada una de las pautas o modelos de vibración preferidos de una cuerda dentro de la teoría de cuerdas se presenta como una partícula cuyas cargas de fuerza y de masa están determinadas por el modelo de oscilación de la cuerda. El electrón es una cuerda que vibra de un modo, el quark alto es otra que vibra de otro modo, y así en general. Lejos de ser una colección de hechos experimentales, las propiedades de las partículas dentro de la teoría de cuerdas son la manifestación de una única característica física: los resonantes modelos de vibración -es decir, la música- de los bucles de cuerda fundamentales. […]

La unificación a través de la teoría de cuerdas

[…] Por lo tanto, vemos que, según la teoría de cuerdas, las propiedades observadas con respecto a cada partícula elemental surgen del hecho de que su cuerda interior está sometida a un modelo resonante de vibración concreto. Este punto de vista difiere claramente del expuesto por los físicos antes del descubrimiento de la teoría de cuerdas; según el punto de vista anterior, las diferencias entre las partículas fundamentales se explicaban diciendo que, en efecto, cada tipo de partícula estaba “configurada por un tejido diferente”. Aunque cada partícula se consideraba elemental, se pensaba que era diferente el tipo de “material” de cada una. La teoría de cuerdas altera esta imagen radicalmente cuando afirma que el “material” de toda la materia y de todas las fuerzas es el mismo. Cada partícula elemental está formada por una sola cuerda -es decir, cada partícula elemental es una cuerda individual- y todas las cuerdas son absolutamente idénticas. Las diferencias entre las distintas partículas surgen debido a que sus cuerdas respectivas están sometidas a diferentes modelos resonantes de vibración. Lo que se presenta como partículas elementales diferentes es en realidad las distintas “notas” que produce una cuerda fundamental. El universo -que está compuesto por un número enorme de esas cuerdas vibrantes- es algo semejante a una sinfonía cósmica.

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Para más información podemos consultar este blog: http://jplopez.net/2006/11/14/semana-de-la-ciencia-teoria-de-cuerdas/

Las matemáticas y el universo


Se trata de una foto realizada por el Hubble de la llamada “Nebulosa del ojo de gato”.
Para ver más fotos como ésta pincha en la imagen.

Los llamados pitagóricos cultivaron las matemáticas y fueron los primeros en hacerlas avanzar; y entrenados en ellas, creyeron que los principios de ellas eran principios de todas las cosas existentes. Ahora bien, puesto que los números son, por naturaleza, los primeros de ellas, y en los números les parecía contemplar muchas semejanzas con las cosas que existen y con las que se generan, más que en el fuego, en la tierra y en el agua […], y tras ver en los números las propiedades y relaciones de la escala musical; y, en fin, puesto que las demás cosas, en toda su naturaleza, parecían asemejarse a los números y que los números parecían ser los primeros de toda la naturaleza, supusieron que los elementos de los números eran los elementos de todas las cosas existentes, y que todo el cielo era armonía y número. (ARISTÓTELES, Met. I, 5, 985-986a)

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