Vida y esfuerzo

¿Cuántas cosas escapan a nuestra percepción? Imposible saberlo. Y no se trata sólo de que nuestros sentidos nos engañen, de que las cosas que tratamos de observar sean demasiado pequeñas o demasiado grandes… No, no sólo es eso. Incluso el propio tiempo es ya un velo que nos oculta otra realidad tan infinita como la que percibimos.

La cuestión es que hay cosas que suceden tan despacio que nos pasan desapercibidas, pero están ahí y son tan reales como lo que ocurre a la velocidad ‘normal’. Gracias a las cámaras de video, podemos hacernos una idea de algunas de estas cosas que se nos escapan. En este caso, se trata del video a ‘cámara rápida’ del crecimiento de unas plantitas.

Lo que este video puede mostrarnos, y que se escapa a nuestra percepción ordinaria, es el esfuerzo de las plantas por salir de la tierra. Pero no se trata de un esfuerzo doloroso o hecho a regañadientes. Es más bien el esfuerzo gratuito de un baile. Y hay en ese baile algo jovial y violento a la vez. Disfrutadlo:

Reducciones al absurdo célebres (1ª Entrega) : Prueba de la Infinitud de los números primos (explicada a los niños)

Una de las estrategias de prueba más potentes es la reducción al absurdo. Se trata de suponer lo contrario de lo que queremos demostrar y llegar a una contradicción que nos permita negar lo que habíamos supuesto. Dedicaré una serie de posts a exponer algunas de las reducciones al absurdo más célebres (y hermosas) de la historia del pensamiento. La primera de ellas es una parada obligatoria en el recorrido que os propongo: la prueba de Euclides de que la serie de los números primos es infinita. He tratado de explicar al detalle cada uno de los pasos. La prueba no tiene ninguna complejidad y para comprenderla basta un nivel de matemáticas de primaria. Espero que la disfrutéis.
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Sabemos que un número es primo si y sólo si sus únicos divisores enteros son él mismo y la unidad. Según esta definición, el 1 será primo porque sólo es divisible por sí mismo y por la unidad (que también es él mismo). Lo mismo ocurre con el 2, puesto que entre el 1 y el 2 no hay ningún número entero que lo divida. De este modo, también el 3 será primo, pero no el 4, porque es divisible por sí mismo, por la unidad y por el 2. Según esto, podemos obtener la serie de los números primos:

{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, … }

La cuestión es que a medida que avanzamos en la serie de los números naturales, los números primos cada vez son más escasos, es decir, cada vez hay más distancia entre un primo y el siguiente. Esto nos conduce a la siguiente pregunta: ¿La serie de los números primos es infinita? Podemos sospechar que lo es, pero si somos un poquito sibaritas, no nos conformaremos con meras sospechas, sino que querremos saber.

Si fuéramos Dios podríamos comprobar directamente si los números primos se acaban o son infinitos, simplemente recorriendo toda la serie. Pero nuestra condición mortal nos impide recorrer completamente series infinitas, de modo que si queremos responder a nuestra pregunta habrá que encontrar un método indirecto que podamos completar antes de morir.

Afortunadamente tenemos un método indirecto para demostrar cosas: la reducción al absurdo, que consiste, como ya sabemos, en probar que lo contrario de lo que queremos demostrar es contradictorio. Concretamente, la prueba de la infinitud de los números primos se l

a debemos al gran matemático Euclides. Aquí presentaremos una versión de esa prueba.

1.- Suponemos que la serie de los números primos es finita.

• Empezamos suponiendo esto precisamente porque queremos demostrar lo contrario, a saber, que la serie de los números primos es infinita.

2.- Existe un número n tal que es el número primo más grande

• En efecto, si la serie es finita, se acabará, es decir, habrá un último número primo, al que llamaremos n (podríamos llamarlo ‘Pepe’ o ‘Juanito’, o ‘Último Primo’, pero lo llamamos n) De este modo, la serie completa de los números primos será:

{1, 2, 3, 5, 7, 11, … , n}

3.- Llamemos k al producto de todos los números primos.

• Se trata de que llevemos a cabo la siguiente operación: cojamos la lista de todos los números primos y multipliquémoslos entre sí y al resultado lo llamaremos k.

k = 1 · 2 · 3 · 5 · 7 · … · n

4.- k es divisible por todos y cada uno de los números primos.

• Si 6 es el resultado de multiplicar 2 · 3, es evidente que 6 será divisible por 2 y por 3. Bien, puesto que k es el resultado de multiplicar todos los números primos entre sí, será, en consecuencia, divisible por cualquiera de ellos.

5.- (k + 1) no es divisible por ninguno de los números primos de la lista de todos los números primos.

• Si k era divisible por todos porque era el producto de todos ellos, k + 1 no lo será porque, escojamos el número primo que escojamos entre 1 y n, el resto de la división siempre será 1, luego k + 1 no es divisible por ninguno de los miembros de {1, 2, 3, 5, 7, …,

  n}

6.- k + 1 es primo y es mayor que n.

• Que k + 1 es primo se sigue del hecho de que no es divisible por ninguno de los números primos entre 1 y n, por lo tanto sus únicos divisores serán él mismo y la unidad. Que es mayor que n es también evidente, ya que si k = 1 · 2 · 3, …, · n, entonces k tiene que ser mayor que n (pues el producto de n por todos los primos anteriores a n tiene que ser, por fuerza, mayor que n).

7.- Llegamos a la contradicción: n es el último número primo, pero k + 1 es un número primo mayor que n.

• Si suponemos que el conjunto de los números primos es finito, de ahí se sigue que existe un último número primo llamado n. Pero esto implica, como hemos visto, que podemos multiplicar entre sí todos los números primos, y el resultado será un número no primo k, que será mayor que n. Pero si a k le sumamos 1, dejará de ser divisible por todos los números anteriores, por lo tanto será primo y mayor que n. Pero no es posible que exista un último número primo n y al mismo tiempo un número primo k + 1 que sea mayor que n, porque entonces n no podria ser el último, que es lo que hemos supuesto. De hecho k + 1 no es tampoco el último número primo, pues se le puede aplicar el mismo razonamiento que a n.

8.- Luego existen infinitos números primos.

• Si el hecho de suponer que la serie de los primos es finita nos ha llevado a una

  contradicción, podemos afirmar con tranquilidad lo contrario de nuestro supu

  esto, a saber, que la serie de los primos es infinita. Ahora ya no es sólo una sospecha. Por mucho que se distancien entre sí, sabemos que nunca encontraremos un último número primo.

  

Links:
Retrato de Euclides
Imagen símbolo infinito
Euclides en la Wikipedia
Página Web sobre Euclides
Euclides en DivulgaMat (Página de Divulación de Matemáticas)
Los Elementos de Euclides
Reducción al absurdo
Reducción al absurdo en la Wikipedia
Gaussianos (Excelente Blog dedicado a las matemáticas, no os lo perdáis)

San Valentín

El «amigo de los enamorados», San Valentín, es el patrón del amor por excelencia. En su tiempo fue castigado por defender el derecho de los jóvenes a amarse y unirse en matrimonio, aunque no siempre fue reconocido por ello. De hecho, aunque pueda sonar paradójico, fue la Iglesia quien decidió erigirlo en patrón de los enamorados y decretó el 14 de febrero como día indicado para esta festividad. Y lo hizo para acabar con un famoso rito pagano de fertilidad que provenía de la tradición romana.

VALENTÍN Y LAS BODAS EN SECRETO

Situémonos: año 270 d.C. Roma está en plena decadencia y toda ayuda es poca para evitar que el Imperio se desmorone. Al emperador Claudio III, que sabe lo que se juega en el campo de batalla, le da por pensar que los hombres casados rinden menos porque están emocionalmente ligados a sus familias, y que los solteros son mejor soldados. Así que prohíbe el matrimonio.

Por supuesto, la noticia no es bien acogida. Valentín, un obispo cristiano, decide quejarse a su manera: incitando a los jóvenes enamorados a acudir a él en secreto para unirse en sagrado matrimonio. Cuando Claudio lo descubre hace detener a Valentín e intenta convencerle para que renuncie al cristianismo. Como no lo consigue, ordena que lo apaleen, lo apedreen y finalmente lo decapiten. Valentín es ejecutado el 14 de febrero.

La historia de Valentín hubiera quedado ahí si no fuera porque dos siglos más tarde la Iglesia católica la recuperó. Por aquel entonces era tradición entre los adolescentes practicar una curiosa fiesta pagana derivada de los ritos en honor del dios Lupercus. Era un sorteo mediante el cual cada chico escogía el nombre de una joven que se convertiría en su compañera de diversión durante un año. Y eso incluía el placer sexual…

La Iglesia quiso acabar con tanto desenfreno y sustituyó a Lupercus por San Valentín como patrón de los enamorados. Eso sí, conservó la costumbre del sorteo, aunque lo que escogían los adolescentes era el nombre de un santo al que debían imitar el resto del año.

LA TRADICIÓN DE ENVIAR POSTALES

Aún a regañadientes, los jóvenes romanos aceptaron el cambio impuesto por la Iglesia, pero no renunciaron a la tradición de enviar cartas de amor cada 14 de febrero a las chicas que querían conquistar. En honor al nuevo patrón, a menudo firmaban como «San Valentín». Y esa costumbre también tiene su historia…

Dicen que cuando Valentín fue encerrado, su carcelero le pidió que diera clases a su hija Julia, que era ciega de nacimiento. A base de lecciones y horas juntos, Valentín se enamoró de Julia y cuentan que incluso hizo que recuperase la vista milagrosamente. La víspera de su ejecución, envió una nota de despedida a la chica en la que firmó con las palabras «de tu Valentín».

Con el tiempo las tarjetas de San Valentín se hicieron populares y adoptaron a Cupido como figura emblemática. Su decoración aumentó y empezaron a imprimirse con versos y dibujos. Hoy en día siguen siendo tradición en todo el mundo y, después de las postales de Navidad, son las que más se envían en todo el año.

Link.

Pepito: Vaya, pues no sabía que el Día de San Valentín tenía su historia. La verdad es que siempre he creído que era un simple invento del Corte Inglés para fomentar el consumismo.

Juanito: Bueno, en parte tienes razón, pero yo creo que es bonito regalarle algo a la pareja, ya sea un modesto colgante o un ostentoso abrigo.

Pepito: Bueno, sí, pero entonces responde a una pregunta: ¿y por qué hoy? Tenemos 365 días a lo largo del año para demostrar nuestro amor hacia la pareja, e incluso algunos años son generosos y nos otorgan un día más. Con todos estos días, ¿por qué tiene que ser hoy?

Juanito: Bueno, pepito, este día tiene algo especial. El amor se puede respirar en el aire, ¿no crees?

Pepito: No digas tonterías, juanito, de «día especial» no tiene nada, eso del aire romántico te lo ha metido en la cabeza la publicidad, el constante bombardeo de publicidad. De verdad juanito, te manipulan como quieren.

Juanito: A ver, el aire romántico de este San Valntín es debido a que, ya sea porque todos somos «manipulados» por la publicidad, o por cualquier otra cosa, la verdad es que hoy los amantes proliferan, las parejas están más acarameladas que nunca, y, para qué negarlo, el hecho de que las tiendas estén decoradas con todos esos símbolos románticos contribuye a este ambiente.

Pepito: Entonces, ¿quieres decir que el amor es algo materialista?

Juanito: A ver, pepito…

Pepito: Estás diciendo que los comercios le dan ese aire romántico al día de San Valentín. ¿Es entonces el amor una questión de consumismo?

Juanito: ¡A ver, pepito, no tergiverses lo que he dicho! Lo que quiero decir es que el aire romántico lo da la sociedad, y los motivos amorosos de los comercios crean un ambiente idóneo para sacar nuestra parte más romántica, para acordarnos de nuestra pareja, ya que la realidad es que necesitamos en ocasiones un impulso o una razón para ser detallistas con nuestro novio o novia. Sólo digo que San Valentín es la escusa perfecta para dar rienda suelta a nuestro romanticismo, ¿es eso algo malo?

Pepito: Bueno, la verdad es que planteado así…

Juanito: Se que hay muchos días y que siempre viene a la cabeza la pregunta de «¿y por qué San Valentín y no otro día para regalar algo a nuestra pareja?», pero entonces deberíamos preguntarnos «¿y por qué otro día?». La verdad es que a veces el preguntarnos el porqué de regalar algo el día de San Valentín nos lleva a concluir el año sin haber regalado nada a nuestra pareja, ya que a veces es simplemente una escusa para dejarlo para otro día.

Pepito: Bien, admito que tienes algo de razón, pero yo creo que la pregunta más importante es: ¿no le damos demasiada importancia a los regalos, a lo material?

Juanito: Buena pregunta, juanito. Creo que un regalo es simplemente una muestra de cariño, más o menos necesaria, pero agradable en todos casos. La verdad es que se nos dibuja una sonrisa en la cara cuando nos regalan algo. Si el hecho de regalar algo puede provocar una reacción positiva, ¿por qué no hacerlo? Es cierto que la sociedad de hoy en día es muy materialista, pero creo que es algo que nos viene exigido ya que es la base de la sociedad actual.

Pepito: Me parece que esta conversación está cogiendo un matiz un tanto filosófico, y ahora mismo no estoy como para tener una discusión de ese tipo. Además, tengo que reconocer mi hipocresía, ya que ahora mismo me dirigía a comprarle un regalo a mi novia, y si no me apresuro van a cerrar las tiendas.

Juanito: ¡Ja, ja! Lo cierto es que todos somos hipócritas en cierta forma. Yo le he dicho a mi novia que eso de San Valentín era una escusa para comprar como locos, y que no debíamos caer en algo así. La verdad es que se lo he dicho porque estoy sin blanca.

Pepito: ¡Ja, ja! Bueno, tengo que irme. A ver si nos vemos otro día que esté mas inspirado y seguimos con la discusión.

Juanito: Eso está hecho.

Pepito: Adiós.

Juanito: Adiós.

Examen de Lógica

En el apartado de la derecha dedicado a los apuntes de clase de Filosofía, he colgado unos ejercicios de formalización resueltos. También podéis acceder a ellos pinchando AQUÍ.

Os he preparado también unos ejercicios de derivación lógica. Los he dividido en cuatro categorías: PRINCIPIANTE, MEDIO, AVANZADO y ENFERMIZO. De momento os paso los de principiante para que practiquéis. Los que salgan en este examen serán de ese tipo. Para aprobar el segundo examen será suficiente con que podáis resolver los de nivel MEDIO. El sobresaliente estará reservado para los que logren hacerse con los de nivel AVANZADO. Para los que se atrevan con el nivel ENFERMIZO, se les reserva uno de los más grandes placeres a los que puede aspirar un ser humano, amén de todos mis respetos. No debo explicar de qué placeres se trata; es un secreto que sólo se le revela a los iniciados…

De momento os conformáis con el nivel PRINCIPIANTE, pinchando AQUÍ.

Os dejo también las soluciones para los ejercicios de nivel PRINCIPIANTE. No se trata de que las copiéis, cosa que tiene poco sentido porque no os las voy a pedir. Se trata de que tratéis de hacerlas y uséis las soluciones sólo para corregir vuestros ejercicios, pensad que en el examen no tendréis las soluciones. Tened a mano la tabla de reglas. Las soluciones AQUÍ.

M.C. Escher: Manos dibujando (litografía, 1948)