Los límites del conocimiento matemático en Platón

Con ustedes uno de los textos más difíciles, complejos y ricos que los alumnos de 2º de Bachillerato de la Comunidad Valenciana tienen que dominar para enfrentarse a la temida P.A.U.:

– Considera, pues, ahora de qué modo hay que dividir el segmento de lo inteligible.

– ¿Cómo?

– De modo que el alma se vea obligada a buscar la una de las partes sirviéndose, como de imágenes, de aquellas cosas que antes eran imitadas, partiendo de hipótesis y encaminándose así, no hacia el principio, sino hacia la conclusión; y la segunda, partiendo también de una hipótesis, pero para llegar a un principio no hipotético y llevando a cabo su investigación con la sola ayuda de las ideas tomadas en sí mismas y sin valerse de las imágenes a que en la búsqueda de aquello recurría.

Platón: La República, 510b-510c

Tras la brusca parrafada de Sócrates, su atónito interlocutor (Glaucón) responde con humildad: «No he comprendido de modo suficiente eso de que hablas». Como podrán suponer, los alumnos que leen por primera vez este fragmento no lo entienden mejor que el propio Glaucón y hay que darle alguna vuelta. El propio Sócrates, en el diálogo de Platón reconoce que hace falta cierto «preámbulo» para entender esto. El caso es que tras el «preámbulo» de Sócrates los alumnos de 2º de Bachiller no se sienten más seguros de haberlo entendido y por regla general hay que darle al asunto un par en vueltas. Yo, este año, estoy usando este esquemita para explicarlo:

Lo cierto es que el texto es fundamental y, para colmo, de plena actualidad, es decir, que el problema que plantea sigue plenamente vigente: ¿Son las matemáticas la forma más perfecta de conocimiento?

En griego la palabra ‘mathemata’ hace referencia a todo aquello que puede ser enseñado y, según la caracterización de Platón, la esencia del pensamiento matemático consistiría en partir de ciertas hipótesis para alcanzar, mediante deducciones lógicas, ciertas conclusiones. Las hipótesis mismas quedarían fuera de toda prueba por considerarse evidentes aunque, en realidad, lo único que se habría probado es el siguiente condicional: «Si las hipótesis de partida son verdaderas, será verdadera la conclusión». En geometría, por ejemplo, no demostramos el teorema de pitágoras, sino el condicional: «si los axiomas de la geometría de Euclides son verdaderos, entonces el teorema de Pitágoras también lo es». Pero ningún matemático se pondría a investigar si esos axiomas son verdaderos o no.

En realidad esa característica del pensamiento matemático es común a todo lo que hoy conocemos como ‘ciencias naturales’. Como dice Platón, este pensamiento es esencialmente limitado, pues no puede evitar partir de ciertas hipótesis que es incapaz de demostrar. Por decirlo de alguna manera, lo que hoy conocemos como ‘ciencia’ no puede demostrarse a sí mismo. Estoy casi tentado a decir que en Platón tenemos una suerte de ‘teorema de incompletitud’ como el que el también platónico Gödel demostrara en el s.XX. Gödel demostró que la matemática (se puede ser más preciso, pero no hay sitio aquí) es incompleta, es decir, que hay cosas que, siendo verdaderas, no puede demostrar. Una de esas cosas que la matemática no puede demostrar es, precisamente, su consistencia, es decir, lo que en matemáticas equivaldría a su ‘verdad’. Así, el pensamiento hipotético deductivo propio de la matemática y de ciencias como la física, la química, la biología, la economía y todas las otras ‘ciencias’ está sometido a un límite esencial: no puede probarse a sí mismo, de modo que es, en último término, mera hipótesis. El siglo XX parece haber olvidado esto, dando lugar a lo que Ortega llamó el imperialismo de la física. Las ciencias naturales han creído estar en posesión de la verdad absoluta y se han erigido como paradigma del conocimiento, creando una falsa sensación de seguridad y, lo que es peor, perjudicando el desarrollo de otras formas de pensar acaso superiores (¿Las ‘humanidades’?)

Pero, ¿hay alguna forma de conocimiento superior al pensamiento hipotético-deductivo de la ciencia físico-matemática? Según Platón sí. Hay una actividad intelectual, a la que hemos venido a llamar ‘dialéctica’, que consistiría, precisamente, en elevarse hacia una verdad no hipotética. Lo que define a esta ‘ascensión’ es que el dialéctico avanza ‘destruyendo hipótesis’. Esto sería lo propio del pensamiento filosófico: la destrucción de hipótesis en busca del principio no hipotético. O lo que es lo mismo, el desenmascaramiento de dogmas, en busca de la verdad.

No negaré que le veo cierto sentido a esa actividad ‘dialéctica’ y que realmente creo que existe y que es superior al pensamiento físico-matemático pero, ese proceso de destrucción de hipótesis del que habla Platón, ¿realmente culmina en la contemplación de un principio no hipotético?

Yo tengo una respuesta a esto, pero este post es demasiado largo ya para desarrollarla y carece de márgenes.